জ্যামিতিক ধারা

ধারা বলতে আমরা কতগুলো সংখ্যাকে বুঝবো যা নির্দিষ্ট নিয়মে ক্রমাগত সাজানো থাকে। যেমন,

\{2,4,6,8...\}

জ্যামিতিক ধারা বলতে সে ধারাকে বোঝানো হয়, যেখানে একটি উপাদানের মান আগের উপাদানের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা গুন করে পাওয়া যায়। যেমন,

\{1,2,4,8,16,32...\}

এখানে প্রত্যেকটি সংখ্যার মান তার আগের সংখ্যার সাথে 2 দ্বারা গুন করে পাওয়া যায়।

জ্যামিতিক ধারাকে নিচের পদ্ধতিতেও প্রকাশ করা যায়,

\{a,ar,ar^2,ar^3...\}

এখানে a হচ্ছে ধারাটির প্রথম পদ, এবং r হচ্ছে সে সংখ্যাটি, যা প্রতিবার গুন করে আমরা আগের পদ থেকে পরের পদটি পাচ্ছি। এখানে a = 1 ও r = 2 বসিয়ে দেখি,

\{1,1.2,1.2^2,1.2^3...\}=\{1,2,4,8...\}

এই ধারাটিই উপরে উদাহরণ হিসেবে ব্যাবহার করা হয়েছে। a ও r এর বিভিন্ন মান ব্যাবহার করে বিভিন্ন জ্যামিতিক ধারা গঠন করা যায়। তাহলে আমরা বলতে পারি যে,

\{a,ar,ar^2,ar^3...\}

একটি জ্যামিতিক ধারা যেখানে,

a = প্রথম পদ ও r = সাধারণ অনুপাত (পাশাপাশি দুটি পদের অনুপাত)

এখানে একটি বিষয় উল্লেখযোগ্য যে,

r=0 হলে, যে ধারা পাওয়া যায় সেটি {a, 0, 0, 0…} কোন জ্যামিতিক ধারা নয়।

জ্যামিতিক ধারা যেমন ছোট থেকে বড় হতে পারে, তেমনি বড় থেকে ছোট ও হতে পারে। এটি নির্ভর করে r এর মানের উপর।

\{1,0.5,0.125...\}

এখানে a=1 ও r=0.5, অর্থাৎ, r এর মান যদি 1 এর ছোট হয়, তখন ধারাটির পদগুলোর মান ক্রমাগত ছোট হতে থাকে।

জ্যামিতিক ধারার যোগফল

জ্যামিতিক ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল,

\sum_{k=0}^{n-1}(ar^k)=a(\frac{1-r^n}{1-r})

উপরের সূত্রটির প্রমাণ নিচে দেখানো হল,

ধরি,

S=a+ar+...+ar^{n-1}

ফলে, আমরা S কে r দ্বারা গুন করে পাই,

Sr=ar+ar^2+...+ar^n

সুতরাং, S – Sr এর মান পাই,

\begin{matrix}
S & = & a+ar+...+ar^{n-1} \\
-Sr & = & -ar-ar^2-...-ar^n \\ \hline
S-Sr & = & a-ar^n
\end{matrix}

\implies S(1-r) = a(1-r^n)

\implies S = \frac{a(1-r^n)}{(1-r)}

জ্যামিতিক ধারার অসীম সংখ্যক পদের যোগফলও বের করা সম্ভব, যদি r এর মান -1 এর বড় ও 1 এর ছোট হয়, এবং r এর মান 0 না হয়।

তার মানে, {-1 < r < 1 এবং r ≠ 0}

সেক্ষেত্রে ধারাটির যোগফল,

\sum_{k=0}^{\infin}{ar^k}=a(\frac{1}{1-r})